Bogen en cirkels

Straal via pijl en apothema

Het onderstaande heeft bijvoorbeeld betrekking op de berekening van driftstralen en de herleiding van gereden snelheden van voertuigen. Dit is de manier om betrouwbare metingen te doen op een wegdek.

• Een boog (violet) loopt door P1, P2 en P3. Wat is de waarde van r?
• h en c zijn meetbaar. In de wiskunde zijn:
  • h: “pijl” (sagitta)
  • c: “apothema”
• Daarmee is iets te zeggen over de lengte van de zijden van de groene driehoek:
  • De zijden zijn:
    • rechte zijde r-h
    • rechte zijde c/2
    • hypotenusa (de schuine zijde) r.
  • Het verband (Pythagoras) is:
    
• In een rekenblad is de formule voor de straal r:
  =(h^2+(c/2)^2)/(2*h)

Straal middels drie punten

Het onderstaande heeft, kan net als hiervoor, betrekking hebben op de berekening van driftstralen en de herleiding van gereden snelheden van voertuigen. Dit is de manier om betrouwbare metingen te doen in een CAD-systeem. Wel is het zaak om punt B nooit te dicht bij A of C te kiezen.

De pure wiskunde

• Een boog (violet) loopt door punt A, B en C. Wat is de waarde van straal r van die boog?
• De driehoek heeft zijden met lengten a, b en c.
• Volgens de sinusregel is de omschreven cirkel met een diameter D als volgt:

en


Oppervlakte O van de driehoek “halve basis maal hoogte” is:


Substitutie met de sinusregel levert voor het oppervlak en de straal het volgende op: